تبلیغات
هرکس میخواهد خدا را بشناسد، ریاضیات بخواند - فراکتال چیست؟
ریاضیات موسیقی ذهن است، پس باید آنرا نواخت

فراکتال چیست؟

جمعه 14 مرداد 1384 11:08 قبل از ظهر

نویسنده : مزبان حبیبی
ارسال شده در:
 

فراکتال چیست؟

مفهوم هندسه فراکتالی بسیار ساده است . این مبحث به دانستن سه مطلب اصلی که در ریاضی دوره دبیرستان آموختیم ، نیاز دارد :

الف) توابع              ب) نمودارها              ج)اعداد مختلط

به ساده ترین بیان فراكتال ها:

1-    خود همانند هستند و آرایش تكرار شونده دارند.

2-    بعد اعشاری دارند.

در مورد این ویژگی ها بعداً توضیح خواهیم داد.

خود همانندی در اشكال هندسی

فراكتال ها خود همانند(خود متشابه) هستند بدین معنی كه:

یك فراكتال: درهر اندازه ای، وبا هر مقیاسی، مشابه مقیاسهای دیگر به نظر می رسد. (کل شکل از اجزایی مشابه شکل اول تشکیل شده است.)
 به این خاصیت خود همانندی می گویند

مثلا درمثلث سرپینسکی مثلث بزرگ از مجموعه ای مثلثهای همسان به وجود آمده است. این یکی ازخصوصیات زیبای فراکتالهاست که همزمان از سوی طبیعت و فناوری به کار گرفته شده است.اگر تا به حال به یک برگ سرخس نگاه کرده باشید، می توانید متوجه تشابه اجزای مختلف آن شوید. ساختار کل ساقه همانند یک برگ و ساختار یک برگ همانند یک جزو کوچک آن است.
اگر فرصت کردید نگاهی هم به سواحل دریاها یا تصاویر هوایی کوهستان ها و گیاهان اطرافتان بیندازید،بسرعت درخواهید یافت که در جهانی آشوب زده احاطه شده اید. اگر هنوز از این موجودات ساده و در عین حال پیچیده هیجان زده نشده اید، این نکته را هم بشنوید.این اجسام نه یک بعدی اند، نه دو بعدی و نه سه بعدی.
این ها ابعادی کسری دارند. فراکتالها دقیقا به دلیل همین خاصیت ویژه ای که دارند، زمانی توانستند روشی برای ذخیره سازی تصاویر ارائه دهند. معمولا زمانی که یک تصویر گرافیکی قرار است به شکل یک فایل تصویری ذخیره شود، باید مشخصات هرنقطه از آن (شامل محل قرار گیری پیکسل و رنگ آن به صورت داده هایی عدی ذخیره شود و زمانی که یک مرور گر بخواهد این فایل را برای شما به تصویر بکشد و نمایش دهد، باید بتواند این کدهای عدی را به ویژگیهای گرافیکی تبدیل کند و آن را به نمایش بگذارد. مشکلی که در این کار وجود دارد، حجم بالایی از داده ها ست که باید از سوی نرم افزار ضبط کننده و تولید کننده بررسی شود.
اگر بخواهیم تصویر نهایی ما کیفیتی عالی داشته باشد،نیازمند آنیم که اطلاعات هریک از نقاط تشکیل دهنده تصاویر را با دقت بالایی مشخص و ثبت کنیم و این حجم بسیار بالایی از حافظه را به خود اختصاص می دهد، به همین دلیل ، روشهایی برای فشرده سازی تصویر ارائه می شود.
اگر نگاهی به فایلهایی که با پسوندهای مختلف ضبط شده اند، بیندازید متوجه تفاوت فاحش حجم آنها می شوید. برخی از این فرمتها با پذیرفتن افت کیفیت بین تصویر تولیدی و آنچه آنها ذخیره می کنند، عملا این امکان را در اختیار مردم قرار می دهند، که بتوانند فایلها و تصاویر خود را روی فلاپی ها و با حجم کمتر ذخیره کنند یا روی اینترنت قرار دهند.
برای این فشرده سازی از روشهای مختفی استفاده می شود. درواقع در این فشرده سازی ها بر اساس برخی الگوریتم های کار آمد سعی می شود به جای ضبط تمام داده های یک پیکسل مشخصات اساسی از یک ناحیه ذخیره شود، که هنگام باز سازی تصویر نقشی اساسی تر را ایفا می کنند.
در اینجاست که روش فراکتالی اهمیت خود را نشان می داد. در یکی از روشهایی که در این باره مطرح شد و با استقبال بسیار خوبی از سوی طراحان مواجه شد، روش استفاده از خاصیت الگوهای فراکتالی بود. در این روش از این ویژگی اصلی فراکتالها استفاده می شد که جزیی از یک تصویر در کل آن تکرار می شود.برای درک بهتر به یک مثال نگاهی بیندازیم. فرض کنید تصویری از یک برگ سرخس تهیه کرده اید و قصد ذخیره کردن آن را دارید.
همان طور که قبلا هم اشاره شد، این برگ ساختاری کاملا فراکتالی دارد؛ یعنی اجزای کوچک تشکیل دهنده در ساختار بزرگ تکرار می شود.
بخشی از یک برگ کوچک ،برگ را می سازد و کنار هم قرار گرفتن برگها ساقه اصلی را تشکیل می دهد. اگر بخواهیم تصویر این برگ را به روش عادی ذخیره کنیم ، باید مشخصات میلیون ها نقطه این برگ را دانه به دانه ثبت کنیم ، اما راه دیگری هم وجود دارد. بیایید و مشخصات تنها یکی از دانه های اصلی را ضبط کنید. در این هنگام با اضافه کردن چند عملگر ریاضی ساده بقیه برگ را می توانید تولید کنید.
در واقع ، با در اختیار داشتن این بلوک ساختمانی و اعمال عملگرهایی چون دوران حول محورهای مختلف ، بزرگ کردن یا کوچک کردن و انتقال می توان حجم تصویر ذخیره شده را به طور قابل توجهی کاهش داد.
در این روش نرم افزار نمایشگر شما هنگامی که می خواهد تصویر را بازسازی کند، باید ابتدا بلوک کوچک را شبیه سازی کرده ، سپس عملگرهای ریاضی را روی آن اعمال کند، تا نتیجه نهایی حاصل شود.
به نظر می رسد این روش می تواند حجم نهایی را به شکل قابل ملاحظه ای کاهش دهد، اما تنها یک مشکل کوچک وجود دارد و آن هم این نکته است که همه اشیای اطراف ما برگ سرخس نیستند و بنابراین الگوهای تکرار در آنها همیشه اینقدر آشکار نیست.
بنابراین باید روشی بتواند الگوهای فراکتالی حاضر در یک تصویر را شناسایی کنند و در صورت امکان آن را اعمال کند.
به همین دلیل ، معمولا روش فراکتالی با روشهای فشرده سازی دیگر همزمان به کار برده می شود؛ یعنی اگر الگوهای تکرار چندان پررنگ نبودند، بازهم فشرده سازی امکانپذیر باشدالبته زیاد نگران ناکارامدی این روش نباشید. یادتان نرود، شما در جهانی زندگی می کنید که براساس یافته جدید ساختاری آشوبناک دارد.
مطمئن باشید هندسه فراکتال بر بسیاری از اشکال عالم حاکم است ؛ حتی اگر در نگاه اول چندان آشکا ر نباشد.

آرایش تكرار شونده  

فراكتال ها اغلب با مراحل تكراری ایجاد می شوند.برای ساخت یك فراكتال:

یك شكل هندسی مثل یك خط یا مثلث را در بگیرید و روی شكل مورد نظر عملیاتی انجام دهید،‌حال شكلی پیچیده تر از شكل اولیه دارید.

همان عملیات را روی شكل جدید انجام دهید، اینبار شكلی پیچیده تر از قبل دارید.

باز همان عملیات را تكرار كنید و الی آخر. به نظر می رسد می توان تا بی نهایت ادامه داد.

هر عملیات تكرار شونده روی اشكال، منجر به پیدایش فراكتال ها نمی شود. مثلاً یك خط را بخش بخش كنید و تا بی نهایت این كار را ادامه دهید،‌یك فراكتال ایجاد نخواهد شد.

در ادامه، مراحل تكرار در یك فراكتال را برسی می كنیم:

بخشی از یك خط را در نظر بگیرید و یك سوم میانی آن را خارج سازید.آنچه باقی مانده یك خط است با یك فضای خالی میانی

این كار را تكرار كنید یعنی یك سوم میانی بخش های باقی مانده خط را خارج سازید. حال تصور كنید این كار را تا بی نهایت انجام می دهید. آنچه حاصل می شود فراكتال معروفی به نام " غبار كانتور" است.

تولید اشکال فراکتالی :

اشکال فراکتالی معمولا به کمک توابع بازگشتی تولید می شوند.مثلا تابع بازگشتی f(n)=f(n)*f(n)+c  یا f(n)=f(n)^2+c  یک تابع فراکتال است. این معادله ی به خصوص یک فراکتال معروف ، موسوم به مجموعه ی جولیا را تشکیل می دهد

          در این معادله c یک عدد مختلط (شامل یک عدد موهومی) است که می تواند هر مقداری باشد و نتیجه ی آن یک مجموعه ی جولیای متفاوت باشد. n به جای مختصات نقطه قرار می گیرد

این موضوع را در نظر داشته باشید زیرا به زودی به آن باز می گردیم . این مختصات ویژه هستند زیرا همان طور که حدس زدید اعداد موهومی را در بر می گیرند.هنگامی که این مختصات

(x,y) هستند ، در هندسه ی فراکتال به صورت x+iy نشان داده می شوند . به عبارت دیگر ، x

مقداری ثابت و y  یک عدد موهومی است . همان طور که در مبحث اعداد مختلط  مشاهده کردید، محور x نشان دهنده ی اعداد حقیقی و محور y  نشان دهنده ی اعداد موهومی است .

حال به تابع فراکتال بر می گردیم . از مختصات (x+iy) به جای n استفاده می کنیم . حالا می پرسید که این تابع چه طور نمودارهای بزرگ فراکتال را می سازد . بسیار خوب ، نتیجه ی یک تابع ، به جای این که یک خط شود ، تنها یک نقطه را نمایش می دهد ـ که اگر ما به تعریف یک نقطه نگاه کنیم ، می تواند بی نهایت کوچک باشد ـ  که بیان می کند چه طور می توانیم یک قسمت از یک فراکتال را بزرگ کرده و به فراکتال جدید کاملی برسیم . نقطه در مختصات n قرار دارد . البته فراکتال ها بسیار رنگارنگ هستند. حالا این رنگ ها چه طور انتخاب می شوند؟ مثل هر چیز دیگر ، نسبتاً ساده است . ابتدا لازم است که یک نقطه را رنگ کنید ، بیایید نقطه (2+1i)

را در نظر بگیریم . برای مقدار c از (1+1i) استفاده می کنیم . به خاطر آورید که c می تواند هر عدد مختلطی باشد . حال این را در معادله قرار می دهیم .

   

f(n)=f(2+1i)=(2+1i)(2+1i)+(1+1i)

     =2*2+2i+2i+i^2+1+1i=5+5i-1=4+5i                   (i^2=-1)

      

(a روی نمودار قرار نمی گیرد (مثال : در یک نمودار 10*10  مؤلفه های جدیدی  که به دست می آیند(97 ، 234-) هستند) 

(b هرگز نمودار را ترک نمی کند (این قانون بعد از 200 بار تکرار ، اگر نقطه باز هم روی نمودار باشد ، صادق است .)

          نحََوه ی انتخاب رنگ به این صورت است که اگر نقطه بعد از یک بار تکرار نمودار را ترک کند ، یک رنگ به آن نسبت می دهیم . هر نقطه بعد از آن ، که بعد از یک تکرار نمودار را ترک کند ، همان رنگ را دارد . تمام نقاطی که بعد از 2 تکرار نمودار را ترک می کنند ، با یک رنگ مشخص نشان داده می شوند و هر نقطه ای که نمودار را هرگز ترک نکند با رنگ متمایز معمولاً سیاه علامت گذاری می شود . بعد از انجام این فرایند ، برای تمام نقاط داخل این صفحه ، نتیجه ای نظیر این مجموعه ی جولیا می شود .

تابع f(x)=f(x-1)^2+c   فراکتال دیگری را موسوم به مجموعه ی مندلبرات می سازد.

                       

همان طور که می بینید ، در بسیاری از حالات ، 200 تکرار لازم است تا تنها یک نقطه تعیین

شود . در اغلب کامپیوترها ، معمولاً تعداد نقاط برای یک فراکتال 303,200 تاست . به همین

دلیل است که برای محاسبه ی عملیات زیاد و دقت انجام آن ها به کامپیوتر نیاز داریم .

          فراکتال ها تصویری از یک زندگی واقعی دارند . کامپیوترها می توانند یک شکل واقعی را بگیرند و با انجام تکرار زیاد به آن شکل تخیلی بدهند . یک معادله ی فراکتال می توان ساخت که ََکنند .

این روزها از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه ای نام می برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی کردند.

 

 

 

 

 

این ها مختصات جدید ما هستند . به یاد آورید که اگر یک مجموعه از مختصات را در یک تابع قرار دهید ، نتیجه یک مجموعه ی جدید از مختصات است . 4+5i مجموعه ی مختصات جدید است . هنوز کار تمام نشده است ، عمل بالا یک تکرار را نشان می دهد . مجموعه ی مختصات را وارد تابع می کنیم تا بتوانیم ثابت کنیم که یک نقطه  :

 

 

 

 




دیدگاه ها : نظرات
آخرین ویرایش: شنبه 15 مرداد 1384 10:08 قبل از ظهر